가우스 법칙
가우스 법칙 (Gauss’s Law)은 전자기학에서 전기장에서 생성된 전기력선의 흐름과 전하의 분포를 설명하는 이론입니다.
전기장은 크기와 방향으로 나타낼 수 있고, 그 전기장에서는 전기력선이 생성되어 양의 전하에서 나와 음의전하로 들어가며 생성됩니다.
이때 전기장에 의해 생성된 전기력선과 전하와의 관계를 깔끔하게 설명하고 이 법칙을 이용해서 복잡한 Electric Field를 매우 간단하게 구할 수도 있습니다.
가우스 법칙의 물리적인 의미는 “닫혀있는 표면을 둘러싼 전기장에 형성된 전기력선들의 총량은 전하의 총합과 같다”입니다.
가우스법칙은 전기장과 전하의 상호작용을 파악하고 전기장의 분포를 명확하게 이해할 수 있으며, 전기장내 형성된 전기력선의 흐름에 대해서도 표현이 가능합니다.
따라서 전기장을 학습한 이후에는 가우스법칙을 통한 또 다른 관점에서의 이해를 할 수 있기 때문에 해당 법칙이 소개됩니다.
Divergence Theorem
Divergence Theorem (발산의 정리)는 벡터 필드에서 존재하는 벡터들이 얼마나 밖으로 퍼져나가는지를 나타내는 개념입니다.
즉, 전기장의 전기력선에 대해서 설명하기 위해서 가장 효과적인 도구가 바로 발산의 정리입니다.
공간에 존재하는 전기장 E에 대하여 Divergence를 취하게 되면 전기장에서 생성된 전기력선(Flux)와의 관계를 설명할 수 있습니다.
그리고 나아가 Flux들이 얼마나 밖으로 발산하는지 설명도 가능합니다.
결국 가우스의법칙과 Divergence Theorem을 연관지어 물리적으로 해석하는 것이 가장 중요한데, 이를 해석하면 다음과 같습니다.
임의의 폐곡면에 존재하는 전기장에서 생성된 전기력선들의 총합은 어떠한 단위부피에 존재하는 전하 소스(Charge Source)에서 나오는 전기력선의 총합과 같다.
가우스 법칙 증명
가우스의 법칙에 대해서 증명하기 위해서 아래 3차원 공간에 전하량 q인 점전하를 두겠습니다.
그리고 점전하로부터 거리가 r인 지점에서 폐곡면을 잡고, 그 폐곡면을 통과하는 전기력선들을 수식적으로 계산하여 가우스 법칙을 증명하겠습니다.
좌표계는 (r,θ,ϕ)를 이용하여 증명해보도록 하겠습니다.
가우스의 법칙을 활용한 전기장 계산
이전에 전기장 파트에서 전기장을 구할 때, 그 크기와 방향에 대해 매우 복잡한 적분수식과 좌표계를 이용하여 전기장을 구했습니다.
하지만 이번에는 가우스읩버칙을 활용하여 대칭인 경우 Gauss Surface를 이용하여 얼마나 간단하게 전기장을 구할 수 있는지 확인해보도록 하겠습니다.
예제1 – 무한도선의 전기장
무한히 긴 도선이 있다고 가정해보겠습니다. 해당 도선에서 나오는 전기장을 구하기 위해서 저희는 크기와 방향에 대한 정의를 통해 전기장을 구했습니다.
하지만 이번에는 가우스법칙을 이용해서 매우 간단하게 무한도선에서의 전기장을 구해보도록 하겠습니다.
무한한 길이의 도선에서 나오는 전기장을 정의하기 위해서 가우스법칙을 응용하겠습니다.
이를위해서 가장 먼저 필요한 것은 Gauss Surface를 정하고, 그 폐곡면을 통과하는 전기력선(Flux)를 정의해주어야 합니다.
위 그림에서 원통모양의 Gauss Surface를 정의하게 되면 그 원통면을 통과하는 전기력선은 모두 r방향으로 정의할 수 있습니다 (파란색 vector성분)
그로인해서 간단하게 아래와 같이 식을 작성하고 전기장을 얻어낼 수 있습니다.
예제2 – 구 껍질이 생성하는 전기장
Spherical Shell이라고 불리는 구 껍질에서 생성되는 전기장에 대해서도 알아보겠습니다.
매우 복잡한 수식으로 전기장을 얻었던 Spherical Shell도 마찬가지로 Gauss Surface를 이용하여 이를 통과하는 전기력선을 표현하여 매우 간단하게 구할 수 있습니다.
먼저 구 반지름 R보다 큰 영역에서의 전기장을 구해보겠습니다.
구의 반지름 R보다 큰 영역에서는 표면에 존재하는 전하들에 의해서 전기장이 생성되고 전하들로 부터 전기력선이 생성되어 폐곡면을 통과합니다.
이를 수식으로 표현한 후 정리하면 아래와 같습니다.
그리고 구의 반지름 R보다 작은 영역에서는 표면에 의한 전하라 영향을 주지 않고, 전기장 또한 생성되지 않습니다. 따라서 전기장은 0으로 매우 간단하게 정리됩니다.
따라서 Spherical Shell이 생성하는 전기장을 정리하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
