Low Pass Filter
Low Pass Filter (저역통과필터)는 어떠한 신호에서 저주파 성분만 통과시키는 역할을 담당합니다.
다시말해 저역통과필터는 어떠한 신호성분에서 고주파 성분을 차단시키고 주파수가 낮은 성분만을 얻어낼 수 있습니다.
가령 아래와 같이 어떠한 신호는 여러가지 주파수대역의 신호 성분들을 포함할 수 있습니다. 이 신호성분들은 저주파 성분이 포함될 수도 있고, 고주파 성분들도 포함되어 있을 수 있습니다.
여기에서 주파수가 낮은 저주파 성분만을 출력으로 얻어내고 싶은 경우에 바로 Low Pass Filter를 이용해서 저주파 성분만 필터링하여 얻을 수 있습니다.
Low Pass Filter를 포함하여 여러가지 Filter를 회로에서 사용하는 이유는 원하는 성분의 주파수를 추출하는 목적도 있겠지만, 노이즈성분과 같이 회로에서 불필요한 성분들을 제거하는 목적도 있습니다.
이를 걸러내는 방법은 회로에서 출력성분의 주파수 응답을 통해서 회로의 출력을 주파수에 따라 표현하여 설명할 수 있습니다.
LPF 출력 주파수 응답
Low Pass Filter를 아래와 같이 회로로 구성한 모습입니다. 이 회로의 출력성분을 입력신호에 대하여 주파수 응답으로 표현할 수 있는데 이를 표현하면 아래와 수식으로 작성할 수 있습니다.
출력전압과 입력전압의 관계는 저항과 리액턴스 성분으로 분해하여 표현할 수 있습니다. 커패시터의 리액턴스는 주파수에 따라 표현할 수 있습니다.
이를 수식으로 풀어서 정리하면 아래와 같이 각주파수와 저항 그리고 커패시턴스의 값을 곱한 형태로 표현할 수 있습니다.
이제 출력전압의 식을 이용해서 각주파수가 무한대 즉, 주파수가 고주파대역에서는 출력전압이 어떠한 값으로 수렴하는지 확인해보겠습니다.
각주파수가 무한대 즉, 고주파 성분들이 회로에 포함되어 있다면 출력전압으로 나타나는 고주파 성분은 0으로 수렴함을 아래와 같은 수식을 통해 알 수 있습니다.
LPF 전압이득 그래프
Low Pass Filter회로에서 얻어진 출력전압을 주파수에 따라 그래프를 그려보면 아래와 같은 형태로 그래프를 얻을 수 있습니다.
먼저 눈여겨 볼 부분은 각주파수 ωc 즉, 저주파 차단주파수라고 부르며 이 주파수를 기준으로 출력전압이 급격하게 줄어드는 모습을 확인할 수 있습니다.
위 그래프를 보면 저주파 대역에서는 전압이득이 최대 전압이득값이 유지가되며 특정 주파수(저주파 차단주파수) 이후로는 전압이득이 감소하여 출력값이 줄어드는 것을 알 수 있습니다.
저주파 차단주파수 ωc는 전압이득보다 -3dB만큼 낮은 지점에서 형성됩니다.
여기서 최대 전압이득보다 -3dB가 낮은 곳에 저주파 차단 주파수가 형성되는 이유를 조금 더 자세히 설명해보겠습니다.
-3dB 지점
전압이득은 전달함수로 표현하여 단위는 데시벨(dB)로 표현하여 나타내는데, 이는 Log Scale로 표현됩니다.
즉, 회로에서 입력대비 출력의 값이 1/2이 되는 지점에서 Log Scale의 값을 구해보면 아래와 같은 과정으로 식을 작성할 수 있습니다.
즉 -3dB인 지점은 입력의 값이 출력으로 50%가 전달되는 지점이라고 말씀드릴 수 있습니다. 바로 이러한 영역에서 저주파 차단주파수가 형성됩니다.
LPF 위상 그래프
출력전압의 식을 다시 확인해보면 아래와 같습니다.
위 전압이득의 식을 크기와 위상으로 분해하였고, 주파수 성분에 따른 출력전압의 크기의 그래프를 위에서 먼저 확인하였습니다.
이번에는 출력전압의 위상을 주파수 성분에 따라 표현하면 아래와 같은 개형을 얻을 수 있습니다.
저주파 차단 주파수에서는 -45°인 지점에서 형성이 되고 주파수가 무한대로 갈 수록 위상은 -90°로 수렴하는 형태로 그래프가 형성됩니다.
Active Low Pass Filter
앞서 확인한 Low Pass Filter는 회로에서 수동소자로 구성한 저역통과필터회로입니다. 즉, Passive Low Pass Filter라고 부릅니다.
반면, Active Low Pass Filter는 증폭기를 이용하여 회로를 구성한 회로인데 마찬가지로 Low Pass Filtering을 담당하는 부분은 수동소자로 구성하며 회로에 증폭기와 같은 활성소자가 구성되어 있기 때문에 Active라는 수식어가 붙게 되었습니다.
Active Low Pass Filter는 아래와 같이 회로를 구성할 수 있습니다.
활성소자인 OP Amp를 회로에 구성하고 수동소자인 저항과 커패시터를 이용하여 Active Low Pass Filter를 구성한 모습이며, 이를 회로해석을 통해 어떻게 저역통과필터링을 할 수 있는지 알아보겠습니다.
Active Low Pass Filter회로 해석
입력전압이 커패시터에서 vx라는 전압을 통해 OP Amp의 +단자로 전달됩니다. 이 전압은 다시 OP Amp의 -단자로 전달되어 회로해석을 해보겠습니다.
이제 회로해석을 위해 필요한 부분을 미지수로 표기하였고, 입력전압과 출력전압의 비인 전달함수를 구하면 아래와 같이 수식을 작성할 수 있습니다.
여기서 전압 vx를 중간에 구해야하는데 그 전압은 OP Amp의 -단자에서 ‘들어오는 전류와 나가는 전류의 대수합은 같다’라는 키르히호프의 전류법칙을 이용해서 구성할 수 있습니다.
최종적으로 작성하여 출력전압과 vx의 비율을 얻을 수 있고, 이는 비반전 OP Amp의 전압이득과 동일한 값을 얻을 수 있습니다.
최종적으로 전달함수를 구해보면 아래와 같이 얻을 수 있고, OP Amp의 전압이득과 저역통과필터의 전달함수의 값을 곱한 형태로 얻어 냈습니다.
마찬가지로 전달함수를 각주파수에 대하여 그래프를 그려보면 저주파 대역에서는 Pass Band 즉, 전압이득이 일정한 값으로 나타납니다.
그리고 -3dB가 나타나는 저주파 차단 주파수 이후로는 전압이득이 급격하게 감소하여 입력성분이 출력성분으로 전달되지 못하는 모습을 확인할 수 있습니다.
